QF 52 : Préparation du brevet

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Corrigés :

Q1 : \(f(-2)=4\times (-2)^2-3\times (-2) -7=4 \times 4 +6-7=15.\) 

15 est l’image de -2 par la fonction ­\(f.\)

Q2 : \(f(-0,5)=6\times (-0,5)=-3.\) 

-3 est l’image de -0,5 par la fonction ­ \(f.\) 

 \(g(-0,5)=3 \times (-0,5)^2 - 9 \times (-0,5) -7=3 \times 0,25+4,5-7=5,25-7=-1,75 .\) 

-1,75 est l’image de -0,5 par la fonction ­ \(g.\) 

\(h(-0,5)=5\times (-0,5)-7=-9,5.\) 

-9,5 est l’image de -0,5 par la fonction h.

Q3 : \(x^2+6x-7=5x-7\)

­­\(x^2+6x-7+7=5x-7+7\)

­­­\(x^2+6x-5x=5x-5x\)

­­­­\(x^2+x=0\)

­­­­\(x(x+1)=0\)

C’est une équation produit nul donc au moins l’un des facteurs est nul. 

­­­­­\(x=0\) ou ­­­­­\(x+1=­0.­­­­\)

0 et ­­­­­\(x=-1\) sont les deux solutions de cette équation.

Q4 :  ­Calculons AB: 

ABD est un triangle rectangle en B, alors: 

­\(tan(18) = \dfrac{opp}{adj}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{3}{AB}.\)

Ainsi, ­\(AB = \dfrac{3}{tan(18)} \approx 9,2 m.\)

Calculons, à présent, BS:

ABS est un triangle rectangle en B, alors: 

­\(tan(40) = \dfrac{opp}{adj}=\dfrac{BS}{AB}\approx\dfrac{BS}{9,2}.\)

Ainsi, ­\(BS \approx 9,2 \times tan(40) \approx 7,7 m.\)

Ainsi la hauteur de la tour s’élève à environ 10,7 m. En effet, ­\(3+ 7,7 = 10,7.\)

Q5: Calculons AP:

APS est un triangle rectangle en A, alors :  \(\tan(\widehat{ASP})=\dfrac{AP}{AS}=\dfrac{AP}{15}. \)

Par conséquent, \(AP=15 \times tan(25)\approx 7 km. \)

Par ailleurs, les deux droites (AS) et (RM) sont parallèles, car elles sont perpendiculaires à une même droite. 

Ainsi, Les deux angles  \(\widehat{ASP}\) et  \(\widehat{PMR}\) sont alternes-internes et donc égaux, car ils sont définis par des droites parallèles.

Calculons à présent RM:

PRM est un triangle rectangle en R, alors:

­­\(tan(25) = \dfrac{opp}{adj}=\dfrac{8}{RM}.\)

Par conséquent, ­­\(RM=\dfrac{8}{tan(25)}\approx 17,2 km.\)

On peut alors déduire la longueur du trajet.